傅里叶变换公式
数学佬曾经在《一台钢琴的科普》中描述过傅立叶变换，其本质蛮容易理解，就是将一个周期函数用若干个三角函数来模拟。公式如下
有朋友说，那个科普不错啦，但是对于这个公式似乎没啥帮助。毕竟我们不能拿一架钢琴来分解，而且不少函数也根本没有相应的钢琴。
好吧，这一次我们学术点，用数学来推导一下公式。
本文难度很大，对数学推导不感兴趣的朋友请拉到最后，点一个“在看”走吧。
延伸阅读：MP3的数学原理
首先我们来求第一个系数
将公式两边同时求积分，一个周期就好。
一个一个积分来考虑哈。
因为三角函数都是周期函数，T是它们的周期，不一定最小正周期，不过不重要。
所以
第一项很简单
带回去得
由于f(x)是已知函数，所以，a0也就求出来了。
（至于你求不求得出来，数学家不管哈）
接下来求a1
将公式两边同时乘cos
再两边取积分，也是一个周期就好
还是老办法，一个一个积分来分析。
由周期性得第一项
后面的项比较麻烦，回忆一下三角函数公式。
类似可得
（你能类似推导吗？还是用三角函数啦）
带回计算得
还是一样，因为f(x)是已知函数，所以a1也就求出来了。
如此，我们就得到了傅立叶变换的全部公式
至于理工科同学们掉头发的问题：积分怎么求，数学家可不管。数学家傅立叶说，这个变换是有解的，怎么解不关我事。
于是物理系同学也就祭出他们强大的工具：近似和误差。
例如MP3音乐说，我就展开5项就好了，谁让这个积分那么难算呢！其他项啊……误差吧，哈哈哈哈。
于是结果就是，MP3音乐真的文件好小，毕竟数字化的优点之一就是大容量，精炼嘛，缺点嘛，就是有一点点失真，毕竟只算了5项，后面的都作为误差舍去了哦。
你想要高保真的音乐，也不是不行，文件体积也就随之增大不少，对播放器的速度要求也高了，一句话，有钱就能搞。
学过高中数学的同学就有可能知道，傅立叶这个变换的手法，其实泰勒就用过，不过泰勒是两边无穷次求导，而傅立叶是两边无穷次求积分。
数学就这么简单哈。（别打我）
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