投入产出模型
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投入产出模型是一种用数学方法解决经济问题的数学模型，在20世纪30年代，首先由哈佛大学教授列昂惕夫建立，他在论文《美国经济体系中投入产出的数量关系》文中介绍了投入产出理论和相应的模型，并给出了资料来源和计算方法。随后受美国政府聘用，研究二战后美国的生产和就业问题，历时5年，完成了1939年的美国投入产出表，于1944年，美国劳工部立即用该表来预测美国1945年12月的就业情况，并对1950年美国充分就业情况下各经济部门的产出做了预计。后来美国的经济发展情况证实了预测的准确性。
随后，在1949年，美国空军和美国劳工部协作，组织了一个有70多人参加的编制组，花费了150万美元经费，到1952年秋，编制出了1947年的包含200个部门的美国投入产出表（含500个变量的500个线性方程）组成的方程组来描述美国经济。这项工作的成果使他于1973年获得了诺贝尔经济学奖。此后，美国政府定期编制全国投入产出表，作为国民经济核算和决定经济政策的依据。
列昂惕夫的成就和获奖成为各国科学界用线性代数建立工程和经济模型的强大动力，也推动了线性代数的迅速发展。
投入产出分析的特点和优点是能够用来研究实际经济问题。它是从数量上系统地研究一个复杂经济实体的各不同部门之间相互关系的方法。这个经济实体可以大到一个国家，甚至整个世界，小到一个省、市或企业部门的经济。而进行经济预测，是投入产出法最广泛的应用。另外，研究某项经济政策的实施将对社会经济产生什么影响，也是投入产出分析的重要应用。投入产出分析还可用于一些专门的社会问题研究，如环境污染问题、人口问题、世界经济结构问题等。
我们知道，当各经济部门进行满足外部需求的生产时，它们也必须增加内部的相互需求，这种部门的内部交叉需求非常复杂。而如果用矩阵来表示经济实体内部的需求的话，这个内部需求矩阵V就要满足一些基本要求，一般各列的列向量元素综合必须小于1，否则这个部门就将因入不敷出而造成计划混乱。
可是，当所有的列向量都出现元素总和大于1的情况时，解x会出现负值，因为是庸解。通常来说，当这个经济实体是一个自给自足的组织时，各个列向量的元素之和就是刚好等于1（想象一下，当年老祖宗们闭关锁国的时候，那时咱们的内部需求矩阵的列向量之和就是1）.
也就是说，在一个经济系统中，每个部门作为生产者，它要为该系统内各个部门（包括本部门）进行生产提供一定产品，又要满足系统外部对该产品的需求，即为“产出”。比如，我国电力部门生产电力，不仅自己电力工厂要用，同时也要输送到国内各个制造企业、其他商业组织，还有政府、居民家等等系统内部需求中去用。而同时，如果电力富足，我们国家还有可能出口，这就是满足系统外部需求了。
另一方面，每个部门为了生产其产品，必然又是消耗者，要消耗本部门和该系统内部其他部门所生产的产品，如原材料、设备、能源、人力等，即为“投入”。同上例，电力部门需要生产电力，也是需要消耗设备、原材料（如媒、核、水之类）、人力等资源来生产的，而这些资源本身又是由系统内（国内）其他部分来提供的。
因此，一个经济系统中的投入和产出关系，就构成了非常复杂的一种交叉需求矩阵。而这些物资方面的消耗和新创造的价值，等于它的总产值，这就是投入和产出的总的平衡关系。
应用举例，可见刘三阳版教材P130。
具体讲解就看我的视频啦~~
