什么叫对称矩阵
是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。
矩阵转置
把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A’或AT。
矩阵转置的运算律(即性质)：
1.(A’)’=A
2.(A+B)’=A’+B’
3.(kA)’=kA'(k为实数)
4.(AB)’=B’A’
若矩阵A满足条件A=A’，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。
延伸阅读
主对角线元素相等的矩阵
对称矩阵对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如: 可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即: 对角矩阵对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵。
矩阵主对角线元素相同其余全部为零，那么你要计算的什么呢？即元素相同的主对角线矩阵，行列式值当然就是这个元素的n次方，而且是满秩的
a为对称矩阵-a也为对称矩阵吗
是的，这是因为矩阵A中按主对角线对称的两个元素，他们的代数余子式，是相等的，从而根据伴随矩阵的定义，可以知道伴随矩阵是对称的。A的逆矩阵是对称矩阵。因为A是对称矩阵 ，其转置矩阵和自身相等，则 A^T=A；那么 (A^-1)^T = (A^T)^-1 = A^-1，所以A的逆矩阵是对称矩阵。证明过程如下：
扩展资料：
1、对称矩阵性质：
（1）对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
（2）A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
（3）对角矩阵都是对称矩阵。
（4）两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
（5）任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：
（6）每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
（7）若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
（8）一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
（9）如果A是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵。
（10）n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
2、逆矩阵性质：
（1）可逆矩阵一定是方阵。
（2）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
（3）A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A^-1）^-1=A。
（4）可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（A^T）^-1=（A^-1）^T (转置的逆等于逆的转置）
（5）若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
（6）两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
（7）矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
什么情况下是对称矩阵
对称矩阵是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。
在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换，两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
1855年，埃米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施、布克海姆等证明了对称矩阵的特征根性质，泰伯引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
对称矩阵怎么求
求对称矩阵方法：求特征值时的矩阵因为都含有λ，不太可能化为下三角矩阵。因为如果用化三角形的方法来解决的话，就涉及到给某行减去一下一行的4-λ分之几的倍数，此时不知道λ是否等于4。所以这种变换是不对的，一般都是把某一列或者行划掉2项，剩下一项不为0的且含λ的项，将行列式按列或者按行展开。
实对称矩阵的行列式计算方法：降阶法。根据行列式的特点，利用行列式性质把某行化成只含一个非零元素，然后按该行展开。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。
为什么a是对称矩阵b也是对称矩阵
根据对称矩阵的性质，就是矩阵的转置矩阵=原矩阵，把A的转置矩阵记为A’
那么A=A’
根据转置矩阵的性质可知（kA^n）’=kA^n，即A的任何次方再乘以任何常数也是对称矩阵
依据是转置矩阵的运算性质：
.(kA)’=kA'(k为实数)和(AB)’=B’A’
那么A^n=AAA……A（n个A相乘）=A’A’A’……A’（n个A’相乘）=（A^n）’
所以A^n是对称矩阵。所以kA^n也是对称矩阵。
那么A^5是对称矩阵，-4A3是对称矩阵，E当然也是对称矩阵。
那么B是由这三个对称矩阵相加得到的，所以也是对称矩阵。
证明对称矩阵的条件是什么
1、对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3、对角矩阵都是对称矩阵。
4、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同
5、每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
6、若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。
7、一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
8、如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
9、n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
对称矩阵的行列式怎么算
对称行列式怎么计算：
1.若n阶方阵A=aij，则A相应的行列式D记作D=|A|=detA=det(aij)，若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。2.r为行，c为列，一般求法还是基于普通行列式的思想，通过不同行列的加减得到尽可能多的零元素，从而可以利用行列式的按行列展开定理。
对称行列式是什么：
1.对称矩阵的行列式计算是要求出矩阵A的行列式和A的逆矩阵就可以求出其伴随矩阵，以主对角线为对称轴, 对应位置上的元素互为相反数，而如果用化三角形的方法来解决的话，就涉及到给某行减去一下一行的（4-λ）分之几的倍数，此时你不知道λ是否=4。
2.若矩阵A满足条件A＝A＇，则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式，对称矩阵是指转秩以后仍是原矩阵的矩阵，对称方程是指系数是对称矩阵的方程组。
3.两个对称矩阵的乘积是一个对称矩阵当且仅当两个矩阵的乘积是可交换的，实对称矩阵的特征值全是实数，设A的特征值是实数，A的三次方+A的平方+A=3E ，所以λ^3+λ^2+λ=3。
