最小的合数是几
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今天要研究的问题是：为什么形如
10001，100010001，1000100010001，…………这样的数都是合数？
“10001”这个数是这一系列要研究的数中最小的一个，不算太大，经验算，它是合数：10001=73×137。
除10001以外的其他这种形式的数，试着将它们去除以一个个素数，当然也是可以验证它们是不是合数，但确实太麻烦，是笨办法，即使有计算机帮助也是不可取的。并且，这种形式的数有无穷多，我们不可能一个个去试。所以必须找规律。这些数有什么规律可循呢？10001已被证实是合数了，我们就不考虑它了。我们现在只研究后面其他这样的数是不是合数。
100010001，
1000100010001，
10001000100010001，
…………
这些数的规律是：在n(n为大于等于3的正整数)个“1”每相邻两个“1”之间都插入“000”。比如在“1111”中每相邻两个“1”之间都插入“000”，便得到
1000100010001
我们希望寻找到这些具有如此形式的数的一个通用构成模式。对100010001这个数来说，很明显，
所以，我们研究的这些数中，前三个可以写成：
观察它们，是不是可以看出它们是公比为(10^4)的等比数列的前不同项的和？为了研究方便，我们先设10^4=x，于是就有：
可以发现，左侧的这些数中有几个“1”，它就可以被写成几项的和。于是，我们可以把原问题转化为研究下面这个等比数列的前n项和(n≥3)是不是合数的问题：
先回顾一下等比数列前n项和公式：
于是，对数列(1)，它的首项是1，公比是x^4，所以，
显然，分子可以分解成两个因数：
分子已经写成了两个正整数的乘积，这很重要！上式右侧分子的两个因数都大于分母（这保证了分子中两个因数都不会因为与分母约分而成为1，从而为证明Sn是合数铺平了道路）。而Sn本身是正整数，所以，上式右侧分母分解成的质因数都一定可以在分子的两个因数的质因数分解中找到。这样一来，上式右侧就一定可以最终成为两个非“1”正整数的乘积。这就说明Sn一定是合数（回顾一下，质数或素数是指只能被自身和1整除的正整数）。所以，到目前为止，我们基本上讲清楚了原问题是成立的。但为了更加生动形象，我们还是需要用具体的例子来对问题加以形象展示。
具体来说，我们可以尝试对“100010001”这个数运用上述公式，以找到它是由哪些个非“1”正整数相乘的，从而说明它是合数。“100010001”是等比数列(1)的前三项的和在公比等于10^4时的值。我们先写出S3：
再把x=10代入上式，得到
（注：上面的推导中用到了下面的立方差公式与立方和公式：
平方差公式则随时都在用。）
这就说明了“100010001”这个数是合数。前面我们说过，分子可以分解成两个因数的乘积，且分母的每一个质因数在分子的两个因数中都可以找到。那么我们就具体来验证一下。把分子和分母都做质因数分解，最后一定可以通过约分把分母化为1，而分子仍然是两个非“1”的正整数的乘积。请看：
与前面直接从公式化简再代入具体值所得结果完全一样！
我一般都是既从具体例子出发，又从通用公式进行抽象论证。具体例子感性强，易于让读者接受，而通用的公式论证则在数学上更加严格。具体与抽象都是需要的。本文也是这样写的。
最小的合数是几(为什么这些数都是合数？)
